Semana 3

Planteamiento de ecuaciones.

Resolver una ecuación es tarea relativamente fácil; en cambio, plantear la ecuación en base a los datos del enunciado suele ser más difícil y a su vez es lo más importante.
Para resolver un problema de planteo de ecuaciones se debe comprender la lectura de problema, si es posible debemos relacionarlo con la realidad y a partir de ahí, traducir el enunciado de la forma verbal a la forma simbólica

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Lo primero que se tiene que hacer es lo siguiente:

Leer y comprender el enunciado

Designar la incógnita

Plantear la ecuación

Resolver la ecuación

Discusión e interpretación de los resultados

Ejemplos de ecuaciones:

36 + x	=	– 12
115	=	4x – 41
x + 124	=	70 – 2
5x + 3y – 4	=	0
5 – ab	=	ax – by
2x + 8	=	3x – 12
0	=	3xy + 3x – 5
2/3x ÷ 4/7y	=	– 28

En estos ejemplos puede observarse lo siguiente:

Hay una expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre de primer miembro, la expresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro.   

En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido.

Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x ¹ = x ), al número 2 (x²), al número 3 (x ³), al número 4 (x ⁴), etc. El exponente indica el grado de la ecuación. (Debe leerse "equis elevado a uno, equis elevado a dos, etc."

¿Cuándo está resuelta una ecuación?

Una ecuación está resuelta cuando se ha encontradoel valor o los valores de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.

Tasa:

Una tasa es una relación entre dos magnitudes. Se trata de un coeficiente que expresa la relación existente entre una cantidad y la frecuencia de un fenómeno. De esta forma, la tasa permite expresar la existencia de una situación que no puede ser medida o calculada de forma directa.

Una tasa unitaria describe cuantas unidades de medida del primer tipo corresponden a una unidad de medida del segundo tipo.

Algunas tasas unitarias comunes son las millas (o kilómetros) por hora, costo por producto, ganancias por semana, etc. En cada caso la primera cantidad se relaciona con 1 unidad de la segunda cantidad.

Ejercicios: 

Si tomamos como base una tasa efectiva del 1.6% que se paga al final de cada 72 días, se podría afirmar, que la tasa equivalente que se paga al principio de cada 45 días

Se trata de calcular una tasa efectiva anticipada con base en una tasa efectiva vencida:

1. Interés ef. anticipado  cada 45 días =  1-(1+0.016)^-(45/72)

Interés ef. anticipado  cada 45 días = 0.009871793995

 aproximadamente : 0.009872

Proporción:

La proporción muestra los tamaños relativos de dos o más valores.
Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando el ":" para separar los valores, o como un solo número dividiendo un valor para el total.
Ejemplo:

si hay un niño y tres niñas la proporción podría escribirse así:

1:3 (por cada niño hay 3 niñas)
1/4 son niños y 3/4 son niñas
0.25 son niños (dividiendo 1 por 4)
25% son niños (0.25 como porcentaje)

Propiedades fundamentales de las proporciones.

Propiedades de las proporciones

Propiedad1 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .

a =  c   → a + b  = c + d
b     d            b          d

a =  c  → a - b  =  c - d
b     d          b          d

Propiedad 2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .

a =  c  → a + b = c + d
b     d          a          c

a =  c → a - b =  c - d
b     d          a          c

Propiedad 3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .

a =  c  → a + b  =  c + d
b     d        a - b       c - d

Serie de razones iguales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones .

a =  c  = e  =  m
b     d      f      n

Propiedad 4 : en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes , como uno de los antecedentes es a su consecuente .

a =  c  = e  = m   =   a + c + e+ m
b     d      f      n        b+ d + f+ n

Ejercicio 1

Hallar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales .

4 =  5 =  1        ↔   4 =  1  →4 . 3 = b . 1 →b = 12
b     d    3               b     3

5 =  1    →5 . 3 = 1 .d→d = 15
d     3  
 
4 =  5 =  1     ↔    4   =  5   =  1
b     d    3                12     15      3

Ejercicio 2 . Aplicar las propiedades de las proporciones .

a) a+ b = 9   ;   a / b = 1 / 2


a =  c   → a + b  = c + d
b     d            b            d

  9 = 1 + 2   → 9 =  3   →  9 . 2 = 3 .b→  b = 9 . 2 = 6
  b      2            b     2                                          3


a + b = 9

a + 6 = 9 ↔ a = 9 - 6 → a = 3

b) a - b = 2 ;  a / b = 4 /3

a =  c  →  a - b =  c - d
b     d          a            c

2  = 4 - 3  →  2 =  1  → 2 . 4 = a . 1 → a = 2 . 4 = 8
a      4            a    4                                       1
a - b = 2

8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6

Resolver

a ) a + b = 5   y la razón es 1,5                                 solución  2 y 3

b ) a - b = - 1  y la razón entre ellos 0,875                  solución  7 y 8