miércoles, 20 de noviembre de 2013

Semana 4


--->FÓRMULA GENERAL

X_1,_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:
Si b^2 es menor que -4ac los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.
Si b^2 es mayor que -4ac obtendremos dos valores distintos de X reales.
Y si b^2 es igual que -4ac obtendremos dos valores de X reales e iguales.
Al término b^2-4ac se le llama discriminante

EJEMPLO: 
x2-2x-3=0

a=1
b=-2
c=-3

x= 2 +- √ (-2)2-4(1)(-3) /2(1)

x= 2+√4+12 /2

x1= 2+16/2= 9
x2= 2-16/2= -7

x1=9
x2=-7

lunes, 11 de noviembre de 2013

Semana 3

Semana 3
Sistemas de ecuaciones lineales 3x3.
1)Lo primero que se hace es eliminar una incógnita tomando de las tres ecuaciones para eso se usa el método de suma y resta.
2)Se toma la tercera ecuación, la cual no se utilizo en el paso anterior y con otra cualquiera se elimina la misma incógnita.
3)Queda un sistema de ecuaciones de 2x2 y se resuelve con el método que elijas
4)Se sustituyen los valores obtenidos de las 2 incógnitas  en una de las ecuaciones.
2x-4y+7z=24 (1)
4x+2y-z=4 (2)
3x+3y-z=4 (3)

comenzamos a multiplicar(1) por 2 para hacer de cada coeficiente de x un múltiplo del primero.
2x-4y+7z=24
4x+2y-z=4
6x+6y-2z=8

después multiplicamos (1) por -2 y le sumamos el resultado a (2) para eliminar el coeficiente de x en (2)
2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
6x+6y-2z=8

ahora multiplicamos (1) por -3 y le sumamos el resultado a (3)
2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
0+18y-23z=-64

ahora multiplicamos la nueva ecuación (3) por -5 para hacer que el coeficiente de y sea un múltiplo del coeficiente de la ecuación (2)

2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
-90y115z=320

ahora multiplicamos (2) por 9 y le sumamos el resultado a (3)
2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
0+0-38z=-76
z=(-76)/(-38)
z=2
ahora empezamos a sustituir z en la anterior así
10y-17(2)=-44
10y-34=-44
10y=-10
y=-1
ahora sustituimos y y z en la primera ecuación así
2x-4(-1)+7(2)=24
2x+4+14=24
2x+18=24
2x=6
x=3








Método de Determinante por ecuación 3x3.
6x + 3y + 2z = 12
.. 9x - y + 4z = 37
.10x + 5y + 3z = 21

..MATRIZ DE COEFICIENTES
........ | 6 3 .2 | ..
.A. =. | 9 -1 .4 |
........ | 10 5 3 |
................................. | x | ..
matriz de incognitas X = | y | ..
................................. | z | ..

................................... | 12 |
matriz de constantes B = | 37 | ..
................................... | 21 | ..
..
sistema matricial
.... AX = B
Determinante del sistema Det(A)
Toma determinante a la matriz de coeficientes A
..
.................. | 6 .. 3 ..2 | ..
, Det(A) = ... | 9 ..-1 . 4 | ..= 11
.................. | 10 . 5 ..3 | ..
Halla el determinante de"x", Det(A1)
en Det(A) se reemplaza la columna 1
por la columna de las constantes 12,37,21
.................... | 12 ..3 . 2 | ..
, Det(A1) = ... | 37 .-1 . 4 | ..= 55
.................... | 21.. 5 . 3 | ..
Para "y", encuentra Det(A2) que resulta de reemplazar
en Det(A) la columna 2 por la columna B
.................... | 6 . .12 ..2 | ..
, Det(A2) = ... | 9 .. 37 . 4 | ..= -44
.................... | 10 .21 ..3 | ..
Si cambias la columna 3 por la columna B
obtendrás el Det(A3) para la variable "z"

.................... | 6 .. 3 ..12 | ..
, Det(A3) = ... | 9 . -1 . 37 | ..= -33
.................... | 10 . 5 ..21 | ..

Luego la regla de Kramer
x = Det(A1)/Det(A) = 55/11= 5
y = Det(A2)/Det(A) = -44/11= -4
z = Det(A3)/Det(A) = -33/11= -3


lunes, 4 de noviembre de 2013

3 parcial, 2 semana

Método de Sustitución

 consiste en despejar en una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación, para que así quede una ecuación con una sola incógnita y pueda hallarse su  valor; luego, se halla el valor de la otra incógnita.
 
1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. En este ejemplo se despeja a y.
2º. Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema.
 
 
3º. Se despeja la incógnita que ahora queda. En este caso, se despeja x.
4º. Se sustituye el valor obtenido de la incógnita en la primera incógnita despejada:

La solución es

 

x=1         e        y=-1,

 

es decir el par (1,-1).



Leer más: http://ecuacioneslineales.webnode.com.ve/metodos-de-eliminacion/sustitucion/
Crea tu propia web gratis: http://www.webnode.es

Métodos analíticos de resolución: Igualación 

hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:
  1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
  2. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
  3. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.
    Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
    Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
    
    x + y = 600
       y = 2x
    

    Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:
    y = 2x
                    ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
    y = 600 - x
    Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:
    
    y = 2x ⇒ y = 400
    

    Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

    Método de determinantes


    Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.
    adx+bdy=rd
    bcx+bdy=bs
    restando ambas ecuaciones tenemos
    (ad-bc)x=rd-bs
    displaystyle x=frac{rd-bs}{ad-bc}
    Ahora eliminemos la variable x
    acx+bcy=br
    acx+ady=as
    restando ambas ecuaciones
    (bc-ad)y=rb-as
    displaystyle x=frac{br-as}{bc-ad}
    Multiplicando por -1 numerador y denominador
    displaystyle x=frac{as-br}{ad-bc}
    Llamando determinante a la siguiente expresión
    Delta=leftvertbegin{array}{cc}x_1 & x_2 \x_3 & x_4end{array}rightvert=x_1.x_4-x_2.x_3
    tenemos que:
    x=frac{Delta x}{Delta}=frac{leftvertbegin{array}{cc}r & b \s& dend{array}rightvert}{leftvertbegin{array}{cc}a & b \c & dend{array}rightvert}=frac{r.d-b.s}{a.d-b.c}
    y
    y=frac{Delta y}{Delta}=frac{leftvertbegin{array}{cc}a & r \c& send{array}rightvert}{leftvertbegin{array}{cc}a & b \c & dend{array}rightvert}=frac{a.s-r.c}{a.d-b.c}
    Ejemplo:
    left{begin{array}{ccc}2x+y&=&1\x-y&=&2end{array}right.
    Determinante principal
    Delta=leftvertbegin{array}{cc}2&1\1&-1end{array}rightvert=2.(-1)-1.1=-3
    Determinante de x
    Delta x=leftvertbegin{array}{cc}1&1\2&-1end{array}rightvert=1.(-1)-1.2=-3
    Determinante de y
    Delta y=leftvertbegin{array}{cc}2&1\1&2end{array}rightvert=2.2-1.1=3
    Finalmente
    displaystyle x=frac{Delta x}{Delta}=frac{-3}{-3}=1
    displaystyle y=frac{Delta y}{Delta}=frac{3}{-3}=-1
    $left{
    begin{array}{ccc}
    x_1 & x_2 & ldots \
    x_3 & x_4 & ldots \
    vdots & vdots & ddots
    end{array}
    right.$
    ———-…———

lunes, 28 de octubre de 2013

 
 
 
Tercer Parcial.
Semana 1.
 


Plano Cartesiano.
El plano cartesiano normalmente se utiliza para graficar información, en este caso son las graficas de ecuaciones, en la función lineal existen dos variables.
En esta grafica encontramos dos ejes el de la "y" y el de la "x".


 
 
 
 
Métodos Algebraicos:
Suma y Resta.
Sustitución.
Igualación.
Determinante.
 
Conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.
 
Métodos de solución:
Suma y Resta:
 Consiste en eliminar una variable sumando las ecuaciones originales o sus      equivalentes. Para ello es necesario que la misma variable tenga en ambas ecuaciones coeficientes inversos.
 
 
 
 
Sustitución:
Método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente en términos de otra(s) variable(s) de manera que el número total de incógnitas se reduzca a 1. Por ejemplo, para resolver las siguientes ecuaciones simultáneas:
x + y = 3 (1)
y
x - y = 1 (2)primero podemos obtener x en términos de y utilizando la ecuación (1): x = 3 - y (3)Después, sustituimos x con (3 - y) en la ecuación (2): (3 - y) - y = 1 (4)
3 - 2y = 1
3 - 1 = 2y
2 = 2y
y = 1Como se muestra, reducimos el número de variables en la ecuación (2) de 2 a 1 utilizando el método de sustitución. El resultado es que obtenemos una nueva ecuación con sólo una variable. Por lo tanto, podemos resolver para y. Después, sustituimos y = 1 de nuevo en la ecuación (1) para resolver para x: x + 1 = 3
x = 2.

Igualación:
Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones para así solo obtener una ecuación de primer grado.



Determinantes:
Arreglo matemático que consta de cierto numero de renglones y columnas.
 Se multiplican diagonalmente los números.
Cuando la flecha va de abajo hacia arriba se cambia el signo de lo que de el resultado.
Cuando la flecha va de arriba hacia abajo conserva su signo igual.











Propiedades De Los Exponentes.
 
Reglas de los Exponentes.
 
 
 
 




 
 
 
 
 
 
 

 
 


sábado, 19 de octubre de 2013

Semana 3

Multiplicación de monomios. 

Cuando multiplicamos 2 o más monomios se pueden realizar los siguientes pasos:
1) se determina el signo. 
2) se multiplican las partes literales aplicando las leyes de los exponentes. 
- - = +
+ += +
+ -= -
- += -

Ejemplos:
(4ab)(6ab2)
24a2b3

(-3xy) (4x3y4)
-12x4y5

Multiplicación de un monomio por un polinomio. 

Para hacer esta operación se necesita la propiedad distributiva de la multiplicación. 
D(e+f+g+h+i+j...o)= (d)(e)+(d)(f)+(d)(g) etc. 

Ejemplo: 4y3 (2y+5y2+3y3)
12y6+20y5+8y4. 

(5x+2)(x2+4x+6)
5x3+20x2+30x+2x2+8x+12. 
5x3+22x2+38x+12. 

Productos notables. 

Productos notables es el nombre que reciben aquellos algoritmos algebraicos cuya aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones habituales; son fórmulas matemáticas que permiten simplificar la resolución de algunos polinomios sin tener que realizar la operación completa.


Con término en común: (x+a)(x-b)// x2+ (a+b)x + ab. 
Conjugados: (x+a)(x-a)// x2-a2
Al cuadrado: (x+-a)2 // x2 +- 2xa + a2

Ejemplos: 
(3x+2) (3x+5)
6x2+ 15x+ 6x+ 10 
6x2+ 21x+ 10. 


(X+2) (x-2)
X2-4


(X-6)2
(X-6) (x-6)
x2-6x-6x+36
x2-12x+36

domingo, 13 de octubre de 2013

Semana 4

“Ecuaciones lineales”

·         Ecuación: es una igualdad matemática en la que intervienen variables, pero la igualdad matemática entre dos expresiones se mantiene.

·         Incognitos de la ecuación: Es una igualdad matemática en la que intervienen variables, pero la igualdad matemática entre dos expresiones se mantiene. (a, b, c, d, x, z, y, etc.)

·         Identidad: es la igualdad que se  verifica, es decir, sólo es válida para ciertos valores de las incógnitas.

X+12= 16; si x=4
·         Conjunto solución: conjunto de valores numéricos que cuando se sustituyen por el lugar de las incógnitas da como resultado en una ecuación numérica (hacen válida la ecuación).

·         Ecuaciones equivalentes: Es una ecuación que tiene o produce otra que tiene en común el resultado

4x-12=0 y  6x-12=0

“Soluciones de ecuaciones”
Resolver una ecuación es el valor que debe de tomar una variable para cumplir alguna condición dada.
Ø Para resolver las ecuaciones necesitamos reglas como:
1.   La propiedad conmutativa: dice que el orden los factores no altera el producto.
5+8=8+5
2.   La propiedad asociativa: dice que en una suma o multiplicación el orden de los factores no altera el producto
(2z)(3z)(4z)= 3z (2z)(4z)
3.   La propiedad distributiva: de la multiplicación respecto a la suma (o la resta) es aquella por la que de dos o más números de una suma (o resta), multiplicada por otro número, es igual a la suma (o resta) de la multiplicación de cada término de la suma (o la resta) por el número.
6(2+3)= 6(2)+6(3)
4.   los neutrales: son los números especiales (0 y 1) entre los reales. El 0 es neutral en la suma y el 1 es neutral en la multiplicación.
5+0=5   y      7x1=7
5.   los contrarios: dice que para cada número real positivo hay uno negativo.
6=-6

6.   los recíprocos: es el número que multiplicado por otro nos da como resultado 1.

“Ecuaciones lineales con una incógnita”


Es aquella que puede escribirse de esta forma: ax+b=0. Donde “a” puede ser cualquier número diferente a 0. También reciben el nombre de “ecuaciones de primer grado con una variable”
Ejemplos:
a)6x+8=20
6x=20-8
X=12/6
X=2




b)19-4x+4x= 3x+7+4x
4x=7-19
X=-12/4

X=-3

domingo, 29 de septiembre de 2013

2 Semana 2 Parcial

CLASIFICACIÓN DE POLNOMIOS

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:
monomio, binomio, trinomio
SUMA DE POLINOMIOS
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy

B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y



A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =



-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =



-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2  + 4x3y  - 7x2y2 =



-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2  + 4x3y - 7x2y2

Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.

RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) −  Q(x) = 3x2 + x - 3
También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2        Q(x) = 6x3 + 8x +3

suma de polinomios











2 Semana 2 parcial

EXPRESIÓN ALGEBRAICA
 es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
                 Ejemplo: 5x+9y
                                 23x

TÉRMINO ALGEBRAICO

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o- por ejemplo xy2 es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

GRADO
 es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x2 yz es: 2 + 3 + 1 = 6

Grado de un polinomio


un ejemplo de polinomio
un ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos
Están hechos de:
círculoconstantes (como 3-20, o ½)
círculovariables (como x e y)
círculoexponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc
Que se pueden combinar usando:
+ - ×sumas, restas y multiplicaciones...
¡pero no divisiones!




Son polinomios o no?
polinomio
Estos son polinomios:
  • 3x
  • x - 2
  • 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5
Y estos no son polinomios
  • 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
  • 3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo
  •  pueden ser 0,1,2,...)
  • Pero esto  está permitido:
    • x/2 está permitido, porque también es(½)x (la constante es ½, o 0.5)
    • también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)

Pero esto  está permitido:
  • x/2 está permitido, porque también es(½)x (la constante es ½, o 0.5)
  • también 3x/8 por la misma razón 







Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!

¿Son polinomios o npolinomio

Estos son polinomios:
  • 3x
  • x - 2
  • 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5
Y estos no son polinomios
  • 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
  • 3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)
Pero esto  está permitido:
  • x/2 está permitido, porque también es(½)x (la constante es ½, o 0.5)
  • también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Polinomio de grado cero

P(x) = 2

Polinomio de primer grado

P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado

P(x) = 2x2+ 3x + 2

Polinomio de tercer grado

P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2

Polinomio de cuarto grado

P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2





lunes, 16 de septiembre de 2013

semana 4

·      Sucesiones aritméticas
Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. Es decir, cualquier término o elemento de la sucesión  aritmética es igual al anterior más una constante d (la diferencia); a excepción del primer elemento que debe ser dado.
A1+1-a1=d
La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an+b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. (La constante a es la diferencia entre un término y el anterior)
Ø Cuando una sucesión aritmética tiene un número fijo de términos entonces es finita;  de otro foto es infinita.
EJ: 6, 12,18 ,24 ,30…           finita
      5, 6 ,7 ,8 ,9 ,10…              infinita
·        Ejemplos:
-Calcula la expresión algebraica de la sucesión  5, 7, 9, 11, 13…
                                                                                           2   2    2    2
2n+b=5                              b=5-3                          An= 2n+2.
2(2)+b=5                          b=2                      (expresión algebraica)
4+b=5                                                                          
-Dada la sucesión aritmética 9, 12, 15, 18, 21… calcula el término 18 de la sucesión.                        
     An= 3n                                         3   3  3     3
3n+b=12
3(2) +b=12                   b=12-6             An+b=3n+6                   An=54+6
6+b=12                        b= 6                 3(18)+6=                                    60
·       Series

Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita(Es el resultado de sumar los términos)
·         Hay dos tipos de series:
-series aritméticas                                    -series geométricas.

Ø  Serie aritmética: Suma indicada de todos los términos de una serie aritmética y sirven para graficar. (En un plano cartesiano donde en el eje “x” se ponen los valores de “n” y en el eje “y” los valores de la serie.

ü  Fórmula: Sn= [n/z]  [2a+(n-1)b]
 -Sn se calcula:
A) si se tiene el primer y el último término.
Sn: (a1-+An)n/2
B) si solo se tiene el primer término y “d”
Sn: [2a1+(n-1)d]n/2
La suma infinita de una serie aritmética no existe.
Ø Serie geométrica y sucesión aritmética: Suma de una serie geométrica, es decir, una serie a1 + a2 + a3 +... en la que los términos forman una secuencia geométrica. Y sucesión: aquella en la cual el cociente entre 2 términos consecutivos es una constante.
Ø  Fórmula(para término general): axrn-1  (donde “a” y “r” son constantes)
R: cociente entre el número y el anterior
N: el número deseado.

Ejemplos:
-encuentra la fórmula para el enésimo término de la sucesión:
A1= 3                        d= 6                                                       An=6n-3
3+6 (n-1)                    An= 3+6n-6
-obtener la suma de sus términos de la sucesión 3, 4, 5…120
Sn: (3+an) 120/2                    (123)(120)=14760/2=7380

Sn:( 3+120)120/ 2