Semana 4

--->FÓRMULA GENERAL

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si  es menor que  los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.

Si  es mayor que  obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si  es igual que  obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Al término  se le llama discriminante

EJEMPLO: 

x2-2x-3=0

a=1

b=-2

c=-3

x= 2 +- √ (-2)2-4(1)(-3) /2(1)

x= 2+√4+12 /2

x1= 2+16/2= 9
x2= 2-16/2= -7

x1=9
x2=-7

Semana 3

Semana 3

Sistemas de ecuaciones lineales 3x3.

1)Lo primero que se hace es eliminar una incógnita tomando de las tres ecuaciones para eso se usa el método de suma y resta.

2)Se toma la tercera ecuación, la cual no se utilizo en el paso anterior y con otra cualquiera se elimina la misma incógnita.

3)Queda un sistema de ecuaciones de 2x2 y se resuelve con el método que elijas

4)Se sustituyen los valores obtenidos de las 2 incógnitas  en una de las ecuaciones.

2x-4y+7z=24 (1)
4x+2y-z=4 (2)
3x+3y-z=4 (3)

comenzamos a multiplicar(1) por 2 para hacer de cada coeficiente de x un múltiplo del primero.
2x-4y+7z=24
4x+2y-z=4
6x+6y-2z=8

después multiplicamos (1) por -2 y le sumamos el resultado a (2) para eliminar el coeficiente de x en (2)
2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
6x+6y-2z=8

ahora multiplicamos (1) por -3 y le sumamos el resultado a (3)
2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
0+18y-23z=-64

ahora multiplicamos la nueva ecuación (3) por -5 para hacer que el coeficiente de y sea un múltiplo del coeficiente de la ecuación (2)

2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
-90y115z=320

ahora multiplicamos (2) por 9 y le sumamos el resultado a (3)
2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
0+0-38z=-76
z=(-76)/(-38)
z=2
ahora empezamos a sustituir z en la anterior así
10y-17(2)=-44
10y-34=-44
10y=-10
y=-1
ahora sustituimos y y z en la primera ecuación así
2x-4(-1)+7(2)=24
2x+4+14=24
2x+18=24
2x=6
x=3

Método de Determinante por ecuación 3x3.

6x + 3y + 2z = 12
.. 9x - y + 4z = 37
.10x + 5y + 3z = 21

..MATRIZ DE COEFICIENTES
........ | 6 3 .2 | ..
.A. =. | 9 -1 .4 |
........ | 10 5 3 |
................................. | x | ..
matriz de incognitas X = | y | ..
................................. | z | ..

................................... | 12 |
matriz de constantes B = | 37 | ..
................................... | 21 | ..
..
sistema matricial
.... AX = B
Determinante del sistema Det(A)
Toma determinante a la matriz de coeficientes A
..
.................. | 6 .. 3 ..2 | ..
, Det(A) = ... | 9 ..-1 . 4 | ..= 11
.................. | 10 . 5 ..3 | ..
Halla el determinante de"x", Det(A1)
en Det(A) se reemplaza la columna 1
por la columna de las constantes 12,37,21
.................... | 12 ..3 . 2 | ..
, Det(A1) = ... | 37 .-1 . 4 | ..= 55
.................... | 21.. 5 . 3 | ..
Para "y", encuentra Det(A2) que resulta de reemplazar
en Det(A) la columna 2 por la columna B
.................... | 6 . .12 ..2 | ..
, Det(A2) = ... | 9 .. 37 . 4 | ..= -44
.................... | 10 .21 ..3 | ..
Si cambias la columna 3 por la columna B
obtendrás el Det(A3) para la variable "z"

.................... | 6 .. 3 ..12 | ..
, Det(A3) = ... | 9 . -1 . 37 | ..= -33
.................... | 10 . 5 ..21 | ..

Luego la regla de Kramer
x = Det(A1)/Det(A) = 55/11= 5
y = Det(A2)/Det(A) = -44/11= -4
z = Det(A3)/Det(A) = -33/11= -3

3 parcial, 2 semana

Método de Sustitución

 consiste en despejar en una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación, para que así quede una ecuación con una sola incógnita y pueda hallarse su  valor; luego, se halla el valor de la otra incógnita.

 

1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. En este ejemplo se despeja a y.

2º. Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema.

 

 

3º. Se despeja la incógnita que ahora queda. En este caso, se despeja x.

4º. Se sustituye el valor obtenido de la incógnita en la primera incógnita despejada:

La solución es

 

x=1         e        y=-1,

 

es decir el par (1,-1).

Leer más: http://ecuacioneslineales.webnode.com.ve/metodos-de-eliminacion/sustitucion/
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Métodos analíticos de resolución: Igualación 

hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
3. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

   Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

   
   Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

   
   x + y = 600
      y = 2x
   

   
   
   Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:
   y = 2x
                   ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
   y = 600 - x
   Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

   
   y = 2x ⇒ y = 400
   

   
   
   Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

   Método de determinantes

   
   
   Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.
   
   
   restando ambas ecuaciones tenemos
   
   
   Ahora eliminemos la variable x
   
   
   restando ambas ecuaciones
   
   
   Multiplicando por -1 numerador y denominador
   
   Llamando determinante a la siguiente expresión
   
   tenemos que:
   
   y
   
   Ejemplo:
   
   Determinante principal
   
   Determinante de x
   
   Determinante de y
   
   Finalmente
   
   
   $left{
   begin{array}{ccc}
   x_1 & x_2 & ldots \
   x_3 & x_4 & ldots \
   vdots & vdots & ddots
   end{array}
   right.$
   ———-…———–

 

 

 

Tercer Parcial.

Semana 1.

 





Plano Cartesiano.
El plano cartesiano normalmente se utiliza para graficar información, en este caso son las graficas de ecuaciones, en la función lineal existen dos variables.
En esta grafica encontramos dos ejes el de la "y" y el de la "x".



 

 

 

 

Métodos Algebraicos:

Suma y Resta.

Sustitución.

Igualación.

Determinante.

 

Conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.

 

Métodos de solución:

Suma y Resta:

 Consiste en eliminar una variable sumando las ecuaciones originales o sus      equivalentes. Para ello es necesario que la misma variable tenga en ambas ecuaciones coeficientes inversos.

 

 

 

 

Sustitución:

Método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente en términos de otra(s) variable(s) de manera que el número total de incógnitas se reduzca a 1. Por ejemplo, para resolver las siguientes ecuaciones simultáneas:

x + y = 3 (1)
y
x - y = 1 (2)primero podemos obtener x en términos de y utilizando la ecuación (1): x = 3 - y (3)Después, sustituimos x con (3 - y) en la ecuación (2): (3 - y) - y = 1 (4)
3 - 2y = 1
3 - 1 = 2y
2 = 2y
y = 1Como se muestra, reducimos el número de variables en la ecuación (2) de 2 a 1 utilizando el método de sustitución. El resultado es que obtenemos una nueva ecuación con sólo una variable. Por lo tanto, podemos resolver para y. Después, sustituimos y = 1 de nuevo en la ecuación (1) para resolver para x: x + 1 = 3
x = 2.

Igualación:
Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones para así solo obtener una ecuación de primer grado.

Determinantes:
Arreglo matemático que consta de cierto numero de renglones y columnas.
 Se multiplican diagonalmente los números.
Cuando la flecha va de abajo hacia arriba se cambia el signo de lo que de el resultado.
Cuando la flecha va de arriba hacia abajo conserva su signo igual.

Propiedades De Los Exponentes.

 

Reglas de los Exponentes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 



Semana 3

Multiplicación de monomios. 

Cuando multiplicamos 2 o más monomios se pueden realizar los siguientes pasos:

1) se determina el signo. 

2) se multiplican las partes literales aplicando las leyes de los exponentes. 

- - = +

+ += +

+ -= -

- += -

Ejemplos:

(4ab)(6ab2)

24a2b3

(-3xy) (4x3y4)

-12x4y5

Multiplicación de un monomio por un polinomio. 

Para hacer esta operación se necesita la propiedad distributiva de la multiplicación. 

D(e+f+g+h+i+j...o)= (d)(e)+(d)(f)+(d)(g) etc. 

Ejemplo: 4y3 (2y+5y2+3y3)

12y6+20y5+8y4. 

(5x+2)(x2+4x+6)

5x3+20x2+30x+2x2+8x+12. 

5x3+22x2+38x+12. 

Productos notables. 

Productos notables es el nombre que reciben aquellos algoritmos algebraicos cuya aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones habituales; son fórmulas matemáticas que permiten simplificar la resolución de algunos polinomios sin tener que realizar la operación completa.

Con término en común: (x+a)(x-b)// x2+ (a+b)x + ab. 

Conjugados: (x+a)(x-a)// x2-a2

Al cuadrado: (x+-a)2 // x2 +- 2xa + a2

Ejemplos: 

(3x+2) (3x+5)

6x2+ 15x+ 6x+ 10 

6x2+ 21x+ 10. 

(X+2) (x-2)

X2-4

(X-6)2

(X-6) (x-6)

x2-6x-6x+36

x2-12x+36

Semana 4

“Ecuaciones lineales”

·         Ecuación: es una igualdad matemática en la que intervienen variables, pero la igualdad matemática entre dos expresiones se mantiene.

·         Incognitos de la ecuación: Es una igualdad matemática en la que intervienen variables, pero la igualdad matemática entre dos expresiones se mantiene. (a, b, c, d, x, z, y, etc.)

·         Identidad: es la igualdad que se  verifica, es decir, sólo es válida para ciertos valores de las incógnitas.

X+12= 16; si x=4

·         Conjunto solución: conjunto de valores numéricos que cuando se sustituyen por el lugar de las incógnitas da como resultado en una ecuación numérica (hacen válida la ecuación).

·         Ecuaciones equivalentes: Es una ecuación que tiene o produce otra que tiene en común el resultado

4x-12=0 y  6x-12=0

“Soluciones de ecuaciones”

Resolver una ecuación es el valor que debe de tomar una variable para cumplir alguna condición dada.

Ø Para resolver las ecuaciones necesitamos reglas como:

1.   La propiedad conmutativa: dice que el orden los factores no altera el producto.

5+8=8+5

2.   La propiedad asociativa: dice que en una suma o multiplicación el orden de los factores no altera el producto

(2z)(3z)(4z)= 3z (2z)(4z)

3.   La propiedad distributiva: de la multiplicación respecto a la suma (o la resta) es aquella por la que de dos o más números de una suma (o resta), multiplicada por otro número, es igual a la suma (o resta) de la multiplicación de cada término de la suma (o la resta) por el número.

6(2+3)= 6(2)+6(3)

4.   los neutrales: son los números especiales (0 y 1) entre los reales. El 0 es neutral en la suma y el 1 es neutral en la multiplicación.

5+0=5   y      7x1=7

5.   los contrarios: dice que para cada número real positivo hay uno negativo.

6=-6

6.   los recíprocos: es el número que multiplicado por otro nos da como resultado 1.

“Ecuaciones lineales con una incógnita”

Es aquella que puede escribirse de esta forma: ax+b=0. Donde “a” puede ser cualquier número diferente a 0. También reciben el nombre de “ecuaciones de primer grado con una variable”

Ejemplos:

a)6x+8=20

6x=20-8

X=12/6

X=2

b)19-4x+4x= 3x+7+4x

4x=7-19

X=-12/4

X=-3

2 Semana 2 Parcial

CLASIFICACIÓN DE POLNOMIOS

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:

SUMA DE POLINOMIOS

A = -3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y - 5xy

B = 8xy - 2xy² + 10 + 4x³y

A + B = (-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y - 5xy) + (8xy - 2xy² + 10 + 4x³y) =

-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y - 5xy + 8xy - 2xy² + 10 + 4x³y =

-3xy² - 6x²y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy²  + 4x³y  - 7x²y² =

-9xy² + 14 + 3xy - 2xy²  + 4x³y - 7x²y²

Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.

RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x - 3) − (2x³ - 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x - 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x - 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x - 3

También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2        Q(x) = 6x³ + 8x +3