Semana 3

Planteamiento de ecuaciones.

Resolver una ecuación es tarea relativamente fácil; en cambio, plantear la ecuación en base a los datos del enunciado suele ser más difícil y a su vez es lo más importante.
Para resolver un problema de planteo de ecuaciones se debe comprender la lectura de problema, si es posible debemos relacionarlo con la realidad y a partir de ahí, traducir el enunciado de la forma verbal a la forma simbólica

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Lo primero que se tiene que hacer es lo siguiente:

Leer y comprender el enunciado

Designar la incógnita

Plantear la ecuación

Resolver la ecuación

Discusión e interpretación de los resultados

Ejemplos de ecuaciones:

36 + x	=	– 12
115	=	4x – 41
x + 124	=	70 – 2
5x + 3y – 4	=	0
5 – ab	=	ax – by
2x + 8	=	3x – 12
0	=	3xy + 3x – 5
2/3x ÷ 4/7y	=	– 28

En estos ejemplos puede observarse lo siguiente:

Hay una expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre de primer miembro, la expresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro.   

En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido.

Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x ¹ = x ), al número 2 (x²), al número 3 (x ³), al número 4 (x ⁴), etc. El exponente indica el grado de la ecuación. (Debe leerse "equis elevado a uno, equis elevado a dos, etc."

¿Cuándo está resuelta una ecuación?

Una ecuación está resuelta cuando se ha encontradoel valor o los valores de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.

Tasa:

Una tasa es una relación entre dos magnitudes. Se trata de un coeficiente que expresa la relación existente entre una cantidad y la frecuencia de un fenómeno. De esta forma, la tasa permite expresar la existencia de una situación que no puede ser medida o calculada de forma directa.

Una tasa unitaria describe cuantas unidades de medida del primer tipo corresponden a una unidad de medida del segundo tipo.

Algunas tasas unitarias comunes son las millas (o kilómetros) por hora, costo por producto, ganancias por semana, etc. En cada caso la primera cantidad se relaciona con 1 unidad de la segunda cantidad.

Ejercicios: 

Si tomamos como base una tasa efectiva del 1.6% que se paga al final de cada 72 días, se podría afirmar, que la tasa equivalente que se paga al principio de cada 45 días

Se trata de calcular una tasa efectiva anticipada con base en una tasa efectiva vencida:

1. Interés ef. anticipado  cada 45 días =  1-(1+0.016)^-(45/72)

Interés ef. anticipado  cada 45 días = 0.009871793995

 aproximadamente : 0.009872

Proporción:

La proporción muestra los tamaños relativos de dos o más valores.
Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando el ":" para separar los valores, o como un solo número dividiendo un valor para el total.
Ejemplo:

si hay un niño y tres niñas la proporción podría escribirse así:

1:3 (por cada niño hay 3 niñas)
1/4 son niños y 3/4 son niñas
0.25 son niños (dividiendo 1 por 4)
25% son niños (0.25 como porcentaje)

Propiedades fundamentales de las proporciones.

Propiedades de las proporciones

Propiedad1 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .

a =  c   → a + b  = c + d
b     d            b          d

a =  c  → a - b  =  c - d
b     d          b          d

Propiedad 2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .

a =  c  → a + b = c + d
b     d          a          c

a =  c → a - b =  c - d
b     d          a          c

Propiedad 3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .

a =  c  → a + b  =  c + d
b     d        a - b       c - d

Serie de razones iguales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones .

a =  c  = e  =  m
b     d      f      n

Propiedad 4 : en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes , como uno de los antecedentes es a su consecuente .

a =  c  = e  = m   =   a + c + e+ m
b     d      f      n        b+ d + f+ n

Ejercicio 1

Hallar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales .

4 =  5 =  1        ↔   4 =  1  →4 . 3 = b . 1 →b = 12
b     d    3               b     3

5 =  1    →5 . 3 = 1 .d→d = 15
d     3  
 
4 =  5 =  1     ↔    4   =  5   =  1
b     d    3                12     15      3

Ejercicio 2 . Aplicar las propiedades de las proporciones .

a) a+ b = 9   ;   a / b = 1 / 2


a =  c   → a + b  = c + d
b     d            b            d

  9 = 1 + 2   → 9 =  3   →  9 . 2 = 3 .b→  b = 9 . 2 = 6
  b      2            b     2                                          3


a + b = 9

a + 6 = 9 ↔ a = 9 - 6 → a = 3

b) a - b = 2 ;  a / b = 4 /3

a =  c  →  a - b =  c - d
b     d          a            c

2  = 4 - 3  →  2 =  1  → 2 . 4 = a . 1 → a = 2 . 4 = 8
a      4            a    4                                       1
a - b = 2

8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6

Resolver

a ) a + b = 5   y la razón es 1,5                                 solución  2 y 3

b ) a - b = - 1  y la razón entre ellos 0,875                  solución  7 y 8

Razón .

Razón o Relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

Ejemplo:

1.- en un curso hay 13 hombres y 25 mujeres. Entonces “la razón” entre hombres y mujeres del curso se lee  “13 es a 25”

 2.- En una caja hay 5 bolas rojas y 7 verdes. La razón entre las bolas verdes y las bolas rojas es   se lee  “7 es a 5”

    

                         Propiedades de la razón 

1) Si el antecedente (equivale al numerador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

2) Si el consecuente (equivale al denominador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda divida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.

3) Si el antecedente y el consecuente de una razón se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía

                 Ejemplo. Un grupo de ancianas tejieron 12 suéteres y 6 bufandas . Cual es la razón de las bufandas a los suéteres ? 

          R= 2:1.    1x + 2x = 18

                          3x = 18 

                          X = 18/3 

                          X= 6                   1 (6) = 6         2(6) = 12 

2 semana

El Porcentaje.
El Pircentaje es una fracción cuyo denominador siempre es el número 100 , por esto se acostumbra llamarle "Tanto por Ciento" El Porcentaje se representa con símbolo % . Las fracciones pueden representárse como porcentajes:
          1 entero = 100
                1/2.  = 50%
                1/4.  = 25%
                1/5.  = 20%
                1/10.= 10%

Ejemplo.
En un salón de clases hay 60 alumnos, de total , 40% son niñas. Cuantas niñas hay en ese salón?
El 100% son 60 alumnos y el 40% son niñas .
   1. Puede obtenerse fácilmente el 10% de 60 y esto es 6 alumnos , por lo tanto 40% será 4 veces 6 y esto de como resultado 24 niñas .
   2. Otra forma de resolverlo es mediante el "algoritmo directo".
Multiplicamos el total de alumnos (60) por el porcentaje (40%) y lo dividimos entre 100.
                            60 X 40 = 2400
Luego calculamos la división
                            2400/100 = 24
El resultado es 24 niñas
La operación anterior equivale a multiplicar 60 por 10/100
                                   60 x 40/100.   O.    60 x 0.40 = 24

PRIMERA SEMANA MATEMATICAS...

Primera Semana.

 







-Propiedad Conmutativa De la Suma:

Es por medio de la cual los sumandos se pueden sumar de  cualquier forma u orden.

 

 



Ejemplo:        

  

 

NO IMPORTA SI LA OPERAZON SE VOLTEA O SE INVIERTE YA QUE EL RESULTADO SIEMPRE VA A DAR EL MISMO.

 

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-Propiedad Asociativa De la Suma:

 Es la que se establece cuando se suman 3 o mas números reales, la suma es la misma independientemente del agrupamiento.

 

Ejemplo:

 

 

Se suman primero los números que estan dentro del parentesís ya que asi podemos hacer más rápida la suma.

 

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-Multiplicación o Factorización:

 

 

Es una operacíón que tiene dos números llamados FACTORES que se encargan de calcular un número llamado PRODUCTO.

 

-Los signos que representan una multiplicación son:

 

        x

       ( )

        .

Ejemplo:

5 x 5= 25                                                                   (5) (5) =25

5 . 5= 25                                                                      5 (5)  =25

 

 

 

 

LEY DE LA UNIFORMIDAD.

El producto tiene un valor único.

5( 7 )= 35 PRODUCTO.

LEY CONMULATIVA.

El orden del factor no altera producto.

Aunque cambien de lugar los números sigue siendo el mismo resultado.

3( 4 )= 12

4( 3 )=12

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Propiedades de la División.

Es la operación inversa a la multiplicación, el resultado que nos da esta operación se le llama COCIENTE, esta se hace apartir de dos factores uno llamado DIVIDENDO y el otro DIVISOR.

Signo de la división.

 

 

 

Ley de la uniformidad de la división.

EL COCIENTE TIENE UN VALOR ÚNICO ES DECIR NUNCA CAMBIA.

 

 

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Potencias de un número.

Son los resultados de un número que se obtiene al tomarlo como factor dos o mas veces.

El número que se multiplica por si mismo se llama BASE DE POTENCIA.

 

Para denotar la potensación escribimos la base y en la parte superior derecha se coloca un número pequeñito que indica cuantas veces se deve multiplicar por si mismo a este númerito se le llama EXPONENTE.

 

 

 

 

REGLA DEL PRODUCTO

Cuando los exponentes se multiplican solo se suma el exponente.

 

 

 

 

 

 

 

 

REGLA DEL COCIENTE PARA EXPONENTES

Cuando los esponentes se dividen se restan.

 

 

 

 

 

 

 

REGLA DE LA BASE CON EXPONENTE "0"

CUANDO SALE 0 SE ELEVA TODO A LA 0 Y DA 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

REGLA DE LA POTENCIA DE UNA POTENCIA.

Cuando una potencia esta elevada a otra potencia se multiplica el exponente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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FRACCIONES.

Es la parte de un entero.

 

 

Fracción propia: Es cuando el númerador es mayor o igual que el denominador.

 

Fracción impropia: Es cuando el denominador es mayor que el númerador.

 

Fracción décimal: Es cuando el denominador es una potencia de 10.

 

 

 

¿Como hacer una fracción a número mixto?

Para cambiar de una fracción común a número mixto devemos dividir el númerador entre el denominador, el cociente sera el ENTERO, el residuo el NUMERADOR y el divisor seria el DENOMINADOR.

 



 

 

¿Como pasar una fracción de mixta a impropia?

Se multiplica el denominador el denominador por el entero y despues se le suma el numerador, al final se deja el mismo denominador de la fracción mixta.