3 parcial, 2 semana

Método de Sustitución

 consiste en despejar en una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación, para que así quede una ecuación con una sola incógnita y pueda hallarse su  valor; luego, se halla el valor de la otra incógnita.

 

1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. En este ejemplo se despeja a y.

2º. Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema.

 

 

3º. Se despeja la incógnita que ahora queda. En este caso, se despeja x.

4º. Se sustituye el valor obtenido de la incógnita en la primera incógnita despejada:

La solución es

 

x=1         e        y=-1,

 

es decir el par (1,-1).

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Métodos analíticos de resolución: Igualación 

hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
3. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

   Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

   
   Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

   
   x + y = 600
      y = 2x
   

   
   
   Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:
   y = 2x
                   ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
   y = 600 - x
   Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

   
   y = 2x ⇒ y = 400
   

   
   
   Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

   Método de determinantes

   
   
   Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.
   
   
   restando ambas ecuaciones tenemos
   
   
   Ahora eliminemos la variable x
   
   
   restando ambas ecuaciones
   
   
   Multiplicando por -1 numerador y denominador
   
   Llamando determinante a la siguiente expresión
   
   tenemos que:
   
   y
   
   Ejemplo:
   
   Determinante principal
   
   Determinante de x
   
   Determinante de y
   
   Finalmente
   
   
   $left{
   begin{array}{ccc}
   x_1 & x_2 & ldots \
   x_3 & x_4 & ldots \
   vdots & vdots & ddots
   end{array}
   right.$
   ———-…———–