miércoles, 20 de noviembre de 2013

--->FÓRMULA GENERAL

$X_1,_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si $b^2$ es menor que $-4ac$ los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.

Si $b^2$ es mayor que $-4ac$ obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si $b^2$ es igual que $-4ac$ obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Al término $b^2-4ac$ se le llama discriminante

EJEMPLO:

x2-2x-3=0

a=1

b=-2

c=-3

x= 2 +- √ (-2)2-4(1)(-3) /2(1)

x= 2+√4+12 /2

x1= 2+16/2= 9
x2= 2-16/2= -7

x1=9
x2=-7

lunes, 11 de noviembre de 2013

Semana 3

Sistemas de ecuaciones lineales 3x3.

1)Lo primero que se hace es eliminar una incógnita tomando de las tres ecuaciones para eso se usa el método de suma y resta.

2)Se toma la tercera ecuación, la cual no se utilizo en el paso anterior y con otra cualquiera se elimina la misma incógnita.

3)Queda un sistema de ecuaciones de 2x2 y se resuelve con el método que elijas

4)Se sustituyen los valores obtenidos de las 2 incógnitas en una de las ecuaciones.

2x-4y+7z=24 (1)
4x+2y-z=4 (2)
3x+3y-z=4 (3)

comenzamos a multiplicar(1) por 2 para hacer de cada coeficiente de x un múltiplo del primero.
2x-4y+7z=24
4x+2y-z=4
6x+6y-2z=8

después multiplicamos (1) por -2 y le sumamos el resultado a (2) para eliminar el coeficiente de x en (2)
2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
6x+6y-2z=8

ahora multiplicamos (1) por -3 y le sumamos el resultado a (3)
2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
0+18y-23z=-64

ahora multiplicamos la nueva ecuación (3) por -5 para hacer que el coeficiente de y sea un múltiplo del coeficiente de la ecuación (2)

2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
-90y115z=320

ahora multiplicamos (2) por 9 y le sumamos el resultado a (3)
2x-4y+7z=24
0+10y-17z=-44
0+0-38z=-76
z=(-76)/(-38)
z=2
ahora empezamos a sustituir z en la anterior así
10y-17(2)=-44
10y-34=-44
10y=-10
y=-1
ahora sustituimos y y z en la primera ecuación así
2x-4(-1)+7(2)=24
2x+4+14=24
2x+18=24
2x=6
x=3

Método de Determinante por ecuación 3x3.

6x + 3y + 2z = 12
.. 9x - y + 4z = 37
.10x + 5y + 3z = 21

..MATRIZ DE COEFICIENTES
........ | 6 3 .2 | ..
.A. =. | 9 -1 .4 |
........ | 10 5 3 |
................................. | x | ..
matriz de incognitas X = | y | ..
................................. | z | ..

................................... | 12 |
matriz de constantes B = | 37 | ..
................................... | 21 | ..
..
sistema matricial
.... AX = B
Determinante del sistema Det(A)
Toma determinante a la matriz de coeficientes A
..
.................. | 6 .. 3 ..2 | ..
, Det(A) = ... | 9 ..-1 . 4 | ..= 11
.................. | 10 . 5 ..3 | ..
Halla el determinante de"x", Det(A1)
en Det(A) se reemplaza la columna 1
por la columna de las constantes 12,37,21
.................... | 12 ..3 . 2 | ..
, Det(A1) = ... | 37 .-1 . 4 | ..= 55
.................... | 21.. 5 . 3 | ..
Para "y", encuentra Det(A2) que resulta de reemplazar
en Det(A) la columna 2 por la columna B
.................... | 6 . .12 ..2 | ..
, Det(A2) = ... | 9 .. 37 . 4 | ..= -44
.................... | 10 .21 ..3 | ..
Si cambias la columna 3 por la columna B
obtendrás el Det(A3) para la variable "z"

.................... | 6 .. 3 ..12 | ..
, Det(A3) = ... | 9 . -1 . 37 | ..= -33
.................... | 10 . 5 ..21 | ..

Luego la regla de Kramer
x = Det(A1)/Det(A) = 55/11= 5
y = Det(A2)/Det(A) = -44/11= -4
z = Det(A3)/Det(A) = -33/11= -3

lunes, 4 de noviembre de 2013

3 parcial, 2 semana

Método de Sustitución

consiste en despejar en una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación, para que así quede una ecuación con una sola incógnita y pueda hallarse su valor; luego, se halla el valor de la otra incógnita.

1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. En este ejemplo se despeja a y.

2º. Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema.

3º. Se despeja la incógnita que ahora queda. En este caso, se despeja x.

4º. Se sustituye el valor obtenido de la incógnita en la primera incógnita despejada:

La solución es

x=1 e y=-1,

es decir el par (1,-1).

Leer más: http://ecuacioneslineales.webnode.com.ve/metodos-de-eliminacion/sustitucion/
Crea tu propia web gratis: http://www.webnode.es

Métodos analíticos de resolución: Igualación

hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
```
x + y = 600
   y = 2x
```
Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

y = 2x
⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:
```
y = 2x ⇒ y = 400
```
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

Método de determinantes

Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.

$adx+bdy=rd$

$bcx+bdy=bs$

restando ambas ecuaciones tenemos

$(ad-bc)x=rd-bs$

$displaystyle x=frac{rd-bs}{ad-bc}$

Ahora eliminemos la variable x

$acx+bcy=br$

$acx+ady=as$

restando ambas ecuaciones

$(bc-ad)y=rb-as$

$displaystyle x=frac{br-as}{bc-ad}$

Multiplicando por -1 numerador y denominador

$displaystyle x=frac{as-br}{ad-bc}$

Llamando determinante a la siguiente expresión

$Delta=leftvertbegin{array}{cc}x_1 & x_2 \x_3 & x_4end{array}rightvert=x_1.x_4-x_2.x_3$

tenemos que:

$x=frac{Delta x}{Delta}=frac{leftvertbegin{array}{cc}r & b \s& dend{array}rightvert}{leftvertbegin{array}{cc}a & b \c & dend{array}rightvert}=frac{r.d-b.s}{a.d-b.c}$

y

$y=frac{Delta y}{Delta}=frac{leftvertbegin{array}{cc}a & r \c& send{array}rightvert}{leftvertbegin{array}{cc}a & b \c & dend{array}rightvert}=frac{a.s-r.c}{a.d-b.c}$

Ejemplo:

$left{begin{array}{ccc}2x+y&=&1\x-y&=&2end{array}right.$

Determinante principal

$Delta=leftvertbegin{array}{cc}2&1\1&-1end{array}rightvert=2.(-1)-1.1=-3$

Determinante de x

$Delta x=leftvertbegin{array}{cc}1&1\2&-1end{array}rightvert=1.(-1)-1.2=-3$

Determinante de y

$Delta y=leftvertbegin{array}{cc}2&1\1&2end{array}rightvert=2.2-1.1=3$

Finalmente

$displaystyle x=frac{Delta x}{Delta}=frac{-3}{-3}=1$

$displaystyle y=frac{Delta y}{Delta}=frac{3}{-3}=-1$

$left{

begin{array}{ccc}

x_1 & x_2 & ldots \

x_3 & x_4 & ldots \

vdots & vdots & ddots

end{array}

right.$

———-…———–