Planteamiento
de ecuaciones.
Resolver una ecuación es tarea
relativamente fácil; en cambio, plantear la ecuación en base a los datos
del enunciado suele ser más difícil y a su vez es lo más importante.
Para resolver un problema de planteo de ecuaciones se debe comprender la
lectura de problema, si es posible debemos relacionarlo con la realidad y a
partir de ahí, traducir el enunciado de la forma verbal a la forma simbólica
Una ecuación
es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos.
El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente
por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse
cualquiera otra letra.
Lo primero
que se tiene que hacer es lo siguiente:
Leer y comprender el enunciado
Designar la
incógnita
Plantear la
ecuación
Resolver la
ecuación
Discusión e
interpretación de los resultados
Ejemplos de
ecuaciones:
36 + x
|
=
|
– 12
|
115
|
=
|
4x – 41
|
x + 124
|
=
|
70 – 2
|
5x + 3y – 4
|
=
|
0
|
5 – ab
|
=
|
ax – by
|
2x + 8
|
=
|
3x – 12
|
0
|
=
|
3xy + 3x – 5
|
2/3x ÷ 4/7y
|
=
|
– 28
|
En estos
ejemplos puede observarse lo siguiente:
Hay una
expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a
la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre
de primer miembro, la expresión que está a la derecha del signo igual se
llama segundo miembro.
En una
ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor
desconocido.
Una
incógnita puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x ), al
número 2 (x2), al número
3 (x 3), al número
4 (x 4), etc. El exponente
indica el grado de la ecuación. (Debe leerse "equis elevado a
uno, equis elevado a dos, etc."
¿Cuándo está
resuelta una ecuación?
Una ecuación
está resuelta cuando se ha encontradoel valor o los valores de la o las
incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz
o solución.
Tasa:
Una tasa es una relación entre dos magnitudes.
Se trata de un coeficiente
que expresa la relación existente entre una cantidad y la frecuencia de un fenómeno. De esta forma, la tasa permite expresar la existencia
de una situación que no puede ser medida o calculada de forma directa.
Una tasa unitaria describe cuantas unidades de
medida del primer tipo corresponden a una unidad de medida del segundo tipo.
Algunas tasas unitarias comunes son las millas (o
kilómetros) por hora, costo por producto, ganancias por semana, etc. En cada
caso la primera cantidad se relaciona con 1 unidad de la segunda cantidad.
Ejercicios:
Si tomamos como base una tasa efectiva del
1.6% que se paga al final de cada 72 días, se podría afirmar, que la tasa
equivalente que se paga al principio de cada 45 días
Se trata de calcular una tasa efectiva anticipada con base en una tasa
efectiva vencida:
- Interés ef. anticipado cada 45 días = 1-(1+0.016)-(45/72)
Interés
ef. anticipado cada 45 días = 0.009871793995
aproximadamente : 0.009872
Proporción:
La proporción
muestra los tamaños relativos de dos o más valores.
Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando el
":" para separar los valores, o como un solo número dividiendo un
valor para el total.
Ejemplo:
si hay un
niño y tres niñas la proporción podría escribirse así:
1:3 (por cada niño hay 3 niñas)
1/4 son niños y 3/4 son niñas
0.25 son niños (dividiendo 1 por 4)
25% son niños (0.25 como porcentaje)
Propiedades fundamentales de las proporciones.
Propiedades de las proporciones
Propiedad1 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el
antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la
suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es
a su consecuente .
a =
c → a + b = c + d
b
d
b d
a =
c → a - b = c - d
b
d
b d
Propiedad
2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a
su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el
consecuente de la segunda razón es a su antecedente .
a =
c → a + b = c + d
b
d
a c
a =
c → a - b = c - d
b
d
a c
Propiedad
3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el
consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la
suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la
diferencia de los mismos .
a =
c → a + b = c + d
b
d a - b
c - d
Serie
de razones iguales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones
.
a =
c = e = m
b
d f n
Propiedad
4 : en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes , como uno de
los antecedentes es a su consecuente .
a =
c = e = m = a + c +
e+ m
b
d f n b+ d +
f+ n
Ejercicio
1
Hallar los valores desconocidos de la siguiente serie
de razones iguales .
4 = 5
= 1 ↔ 4 = 1
→4 . 3 = b . 1 →b = 12
b
d 3
b 3
5 =
1 →5 . 3 = 1 .d→d = 15
d
3
4 = 5 =
1 ↔ 4
= 5 = 1
b
d 3
12
15 3
Ejercicio 2 . Aplicar las propiedades de las proporciones .
a) a+ b =
9 ; a / b = 1 / 2
a =
c → a + b = c + d
b
d
b d
9 = 1 + 2 → 9 = 3 → 9 . 2 = 3 .b→ b = 9 . 2 = 6
b
2
b
2
3
a + b = 9
a + 6 = 9 ↔ a = 9 - 6 → a = 3
b) a - b = 2
; a / b = 4 /3
a =
c → a - b = c - d
b
d
a c
2 = 4 - 3 → 2 = 1 → 2 . 4 = a . 1 → a = 2 . 4 = 8
a
4
a
4
1
a - b = 2
8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6
Resolver
a ) a + b = 5 y la razón es 1,5
solución 2 y 3
b ) a - b = - 1 y la razón entre ellos 0,875
solución 7 y 8
